حل تمرین صفحه 45 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 45 ریاضی دهم - مسئله ۱ این تمرین بر مبنای **رابطه‌ی اساسی مثلثات** (فیثاغورسی) و تعیین دقیق **علامت** نسبت‌ها با توجه به ربع قرارگیری زاویه حل می‌شود. ### **گام ۱: تعیین علائم** * **ربع:** $\alpha$ در **ناحیه‌ی دوم (II)** است. (یادآوری: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$) * **علائم:** در ربع دوم، $\sin \alpha$ **مثبت** و $\cos \alpha$، $\tan \alpha$ و $\cot \alpha$ **منفی** هستند. ($\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ با این شرط همخوانی دارد.) ### **گام ۲: پیدا کردن $\sin \alpha$** از رابطه‌ی اساسی مثلثات استفاده می‌کنیم: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{3}{5} \right)^2$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$$ چون در ربع دوم هستیم و سینوس باید مثبت باشد، انتخاب می‌کنیم: $$\mathbf{\sin \alpha = \frac{4}{5}}$$ ### **گام ۳: پیدا کردن $\tan \alpha$ و $\cot \alpha$** 1. **تانژانت:** $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$ $$\mathbf{\tan \alpha = -\frac{4}{3}}$$ 2. **کتانژانت:** $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ (یا $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$) $$\mathbf{\cot \alpha = -\frac{3}{4}}$$ **نتیجه‌ی نهایی:** سینوس مثبت و بقیه‌ی نسبت‌ها منفی هستند که با ربع دوم سازگار است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 45 ریاضی دهم - مسئله ۲ این مسئله مربوط به زاویه‌ای با **زاویه‌ی مرجع $60^\circ$** است که در **ربع سوم** قرار دارد. حل مسئله با استفاده از رابطه‌ی $\mathbf{1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}}$ سریع‌تر انجام می‌شود. ### **گام ۱: تعیین ربع و علائم** * **ربع:** $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$. پس $\theta = 240^\circ$ در **ربع سوم (III)** است. * **علائم:** در ربع سوم، $\tan \theta$ و $\cot \theta$ **مثبت**، و $\sin \theta$ و $\cos \theta$ **منفی** هستند. ### **گام ۲: پیدا کردن $\cos 240^\circ$** از رابطه‌ی $\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ استفاده می‌کنیم: $$\left( \sqrt{3} \right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 240^\circ}$$ $$3 + 1 = 4 = \frac{1}{\cos^2 240^\circ}$$ $$\cos^2 240^\circ = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos 240^\circ = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$$ چون در ربع سوم هستیم، کسینوس باید منفی باشد: $$\mathbf{\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}}$$ ### **گام ۳: پیدا کردن $\sin 240^\circ$** از رابطه‌ی $\sin \theta = \tan \theta \times \cos \theta$ استفاده می‌کنیم: $$\sin 240^\circ = \left( \sqrt{3} \right) \times \left( -\frac{1}{2} \right)$$ $$\mathbf{\sin 240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ **تأیید علامت:** سینوس منفی است که با ربع سوم سازگار است. ### **گام ۴: پیدا کردن $\cot 240^\circ$** $$\cot 240^\circ = \frac{1}{\tan 240^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$ **نتیجه‌ی نهایی:** نسبت‌های دیگر زاویه‌ی $240^\circ$ عبارتند از $\sin 240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$، $\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}$ و $\cot 240^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 45 ریاضی دهم - مسئله ۳ زاویه‌ی $135^\circ$ یک زاویه‌ی معروف با **زاویه‌ی مرجع $45^\circ$** است که در **ربع دوم** قرار دارد. حل مسئله با استفاده از رابطه‌ی اساسی مثلثات انجام می‌شود. ### **گام ۱: تعیین ربع و علائم** * **ربع:** $90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$. پس $\theta = 135^\circ$ در **ربع دوم (II)** است. * **علائم:** در ربع دوم، $\sin \theta$ **مثبت**، و $\cos \theta$، $\tan \theta$ و $\cot \theta$ **منفی** هستند. ### **گام ۲: پیدا کردن $\cos 135^\circ$** از رابطه‌ی اساسی مثلثات استفاده می‌کنیم: $$\cos^2 135^\circ = 1 - \sin^2 135^\circ$$ $$\cos^2 135^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\cos 135^\circ = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ چون در ربع دوم هستیم، کسینوس باید منفی باشد: $$\mathbf{\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ ### **گام ۳: پیدا کردن $\tan 135^\circ$ و $\cot 135^\circ$** 1. **تانژانت:** $\tan 135^\circ = \frac{\sin 135^\circ}{\cos 135^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $$\mathbf{\tan 135^\circ = -1}$$ 2. **کتانژانت:** $\cot 135^\circ = \frac{1}{\tan 135^\circ} = \frac{1}{-1}$ $$\mathbf{\cot 135^\circ = -1}$$ **نتیجه‌ی نهایی:** نسبت‌های دیگر زاویه‌ی $135^\circ$ عبارتند از $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$، $\tan 135^\circ = -1$ و $\cot 135^\circ = -1$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 45 ریاضی دهم - مسئله ۴ در این مسئله، ما از رابطه‌ی $\mathbf{1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$ استفاده می‌کنیم تا ابتدا کسینوس را بیابیم و سپس با توجه به ربع قرارگیری، علامت‌ها را تعیین کنیم. ### **گام ۱: تعیین علائم** * **ربع:** $\alpha$ در **ناحیه‌ی چهارم (IV)** است. (یادآوری: $270^\circ < \alpha < 360^\circ$) * **علائم:** در ربع چهارم، $\cos \alpha$ **مثبت** و $\sin \alpha$، $\tan \alpha$ و $\cot \alpha$ **منفی** هستند. ($\tan \alpha = -\frac{4}{3}$ با این شرط همخوانی دارد.) ### **گام ۲: پیدا کردن $\cos \alpha$** از رابطه‌ی تانژانت و کسینوس استفاده می‌کنیم: $$\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$\left( -\frac{4}{3} \right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$\frac{16}{9} + 1 = \frac{16+9}{9} = \frac{25}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{9}{25} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$$ چون در ربع چهارم هستیم، کسینوس باید مثبت باشد: $$\mathbf{\cos \alpha = \frac{3}{5}}$$ ### **گام ۳: پیدا کردن $\sin \alpha$** از رابطه‌ی $\sin \alpha = \tan \alpha \times \cos \alpha$ استفاده می‌کنیم: $$\sin \alpha = \left( -\frac{4}{3} \right) \times \left( \frac{3}{5} \right)$$ $$\mathbf{\sin \alpha = -\frac{4}{5}}$$ **تأیید علامت:** سینوس منفی است که با ربع چهارم سازگار است. ### **گام ۴: پیدا کردن $\cot \alpha$** $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}}$$ $$\mathbf{\cot \alpha = -\frac{3}{4}}$$ **نتیجه‌ی نهایی:** نسبت‌های دیگر زاویه‌ی $\alpha$ عبارتند از $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$، $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ و $\cot \alpha = -\frac{3}{4}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 45 ریاضی دهم - مسئله ۵ سلام! این مسئله یک مثال عملی و عالی از کاربرد **نسبت‌های مثلثاتی** در زندگی واقعی است. عرض رودخانه (ضلع $AC$) با استفاده از زاویه‌ی دید و فاصله‌ی افقی طی‌شده (ضلع $BC$) قابل محاسبه است. ### **تحلیل مسئله (انتخاب نسبت مناسب)** در مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\triangle ABC$ که در $C$ قائم است، ما می‌خواهیم عرض رودخانه یعنی ضلع **$AC$** را پیدا کنیم. اطلاعات موجود عبارتند از: * **زاویه‌ی معلوم:** $\hat{B} = 20^\circ$ * **ضلع معلوم:** $\text{ضلع مجاور}$ به زاویه‌ی $B$ ($BC$) $= 200 \text{ m}$ * **ضلع مجهول:** $\text{ضلع مقابل}$ به زاویه‌ی $B$ ($AC$) $= \text{عرض رودخانه}$ نسبت مثلثاتی که **ضلع مقابل** و **ضلع مجاور** را به هم مربوط می‌کند، **تانژانت** است. $$\tan \theta = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}$$ ### **گام ۱: محاسبه $\tan 20^\circ$** اگرچه مقدار $\sin 20^\circ \approx 0.34$ داده شده، برای یافتن $\tan 20^\circ$ به $\cos 20^\circ$ نیز نیاز داریم. از **رابطه‌ی اساسی مثلثات** استفاده می‌کنیم: $$\cos^2 20^\circ = 1 - \sin^2 20^\circ$$ $$\cos^2 20^\circ \approx 1 - (0.34)^2 = 1 - 0.1156 = 0.8844$$ $$\cos 20^\circ \approx \sqrt{0.8844} \approx 0.9404$$ حالا $\tan 20^\circ$ را محاسبه می‌کنیم: $$\tan 20^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} \approx \frac{0.34}{0.9404} \approx 0.3615$$ ### **گام ۲: محاسبه عرض رودخانه ($AC$)** فرمول تانژانت را برای زاویه‌ی $20^\circ$ می‌نویسیم: $$\tan 20^\circ = \frac{AC}{BC}$$ $$\tan 20^\circ = \frac{AC}{200}$$ $$AC = 200 \times \tan 20^\circ$$ $$AC \approx 200 \times 0.3615$$ $$AC \approx 72.30 \text{ متر}$$ **پاسخ نهایی:** عرض رودخانه تقریباً $\mathbf{72.30 \text{ متر}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 45 ریاضی دهم - مسئله ۶ این تمرینات در مورد اثبات **اتحادهای مثلثاتی** هستند. برای اثبات، معمولاً از طرف پیچیده‌تر شروع کرده و با استفاده از **تعریف نسبت‌ها** و **اتحادهای اساسی**، آن را به طرف دیگر می‌رسانیم. --- ### **الف) $\mathbf{\frac{1}{\sin \theta} \times \tan \theta = \frac{1}{\cos \theta}}$** از **طرف چپ** شروع می‌کنیم و $\tan \theta$ را به $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ تبدیل می‌کنیم: $$\text{طرف چپ} = \frac{1}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ با حذف $\sin \theta$ از صورت و مخرج: $$\text{طرف چپ} = \frac{1}{\cos \theta}$$ **نتیجه:** درستی تساوی **تأیید می‌شود** (چون طرف چپ = طرف راست). --- ### **ب) $\mathbf{\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} = \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}}$** اینجا از روش **طرفین وسطین** استفاده می‌کنیم. اگر تساوی صحیح باشد، حاصل‌ضرب طرفین باید با حاصل‌ضرب وسطین برابر باشد: $$\cos \theta \times \cos \theta = (1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)$$ $$\cos^2 \theta = 1^2 - \sin^2 \theta$$ $$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$$ با استفاده از **اتحاد اساسی** ($\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$)، می‌دانیم که $1 - \sin^2 \theta$ دقیقاً برابر با $\cos^2 \theta$ است. **نتیجه:** درستی تساوی **تأیید می‌شود** (چون $\cos^2 \theta = \cos^2 \theta$). --- ### **پ) $\mathbf{\frac{1 + \tan \alpha}{1 + \cot \alpha} = \tan \alpha}$** از **طرف چپ** شروع می‌کنیم و $\cot \alpha$ را به $\frac{1}{\tan \alpha}$ تبدیل می‌کنیم: $$\text{طرف چپ} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 + \frac{1}{\tan \alpha}}$$ در مخرج کسر، مخرج مشترک می‌گیریم: $$\text{طرف چپ} = \frac{1 + \tan \alpha}{\frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha}}$$ حالا کسر را به صورت ضرب تبدیل می‌کنیم (تقسیم بر کسر برابر است با ضرب در معکوس کسر): $$\text{طرف چپ} = (1 + \tan \alpha) \times \frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha}$$ با حذف $(1 + \tan \alpha)$ از صورت و مخرج: $$\text{طرف چپ} = \mathbf{\tan \alpha}$$ **نتیجه:** درستی تساوی **تأیید می‌شود**. --- ### **ت) $\mathbf{1 - \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} = \sin x}$** از **طرف چپ** شروع می‌کنیم. ابتدا $\cos^2 x$ را با استفاده از **اتحاد اساسی** به $\mathbf{1 - \sin^2 x}$ تبدیل می‌کنیم: $$\text{طرف چپ} = 1 - \frac{1 - \sin^2 x}{1 + \sin x}$$ از **اتحاد مزدوج** استفاده می‌کنیم: $1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$: $$\text{طرف چپ} = 1 - \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x}$$ با حذف $(1 + \sin x)$ از صورت و مخرج: $$\text{طرف چپ} = 1 - (1 - \sin x)$$ $$\text{طرف چپ} = 1 - 1 + \sin x$$ $$\text{طرف چپ} = \mathbf{\sin x}$$ **نتیجه:** درستی تساوی **تأیید می‌شود**. --- ### **ث) $\mathbf{\frac{1}{\cos x} - \tan x = \frac{\cos x}{1 + \sin x}}$** از **طرف چپ** شروع می‌کنیم و آن را به $\sin x$ و $\cos x$ تبدیل می‌کنیم و مخرج مشترک می‌گیریم: $$\text{طرف چپ} = \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}$$ $$\text{طرف چپ} = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$$ حالا از **روش گویا کردن مخرج** (شبیه بخش ب) استفاده می‌کنیم تا به طرف راست برسیم. صورت و مخرج را در $(1 + \sin x)$ ضرب می‌کنیم: $$\text{طرف چپ} = \frac{1 - \sin x}{\cos x} \times \frac{1 + \sin x}{1 + \sin x}$$ $$\text{طرف چپ} = \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{\cos x (1 + \sin x)}$$ با استفاده از **اتحاد مزدوج** در صورت و **اتحاد اساسی** ($1 - \sin^2 x = \cos^2 x$): $$\text{طرف چپ} = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x (1 + \sin x)} = \frac{\cos^2 x}{\cos x (1 + \sin x)}$$ با حذف یک عامل $\cos x$ از صورت و مخرج: $$\text{طرف چپ} = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$$ **نتیجه:** درستی تساوی **تأیید می‌شود**.